Вычислительная математика (А.А. Мицель, 2013 г., 157 с.)

Задание на контрольную работу
1. Решение уравнений с одной переменной
Написать программу отделения корней.
Написать программу поиска корня уравнения одним из нижеперечисленных методов:
а) методом перебора;
б) методом дихотомии;
б) методом хорд;
в) методом золотого сечения;
г) методом Ньютона;
д) методом итераций;
е) комбинированным методом.
Входные данные:
• функция f (x) и ее первая и вторая производные (для метода Ньютона, итераций и комбинированного метода);
• интервал [a,b];
• точность ε1,ε2;
• метод.
Выходные данные:
• корни ξi , точность;
• значения функции f(ξi) ;
• количество итераций n ;
• количество вычислений функции f (x);
• время счета;
• параметр сходимости a = |xn+1-xn|/|xn-xn-1|

2. Решение задач линейной алгебры
2.1 Решение систем линейных уравнений
Написать программу решения системы линейных алгебраических уравнений одним из следующих методов:
а) методом Гаусса;
б) методом ортогонализации;
в) методом Халецкого;
г) методом простой итерации;
д) методом Зейделя.
Входные данные:
• порядок системы n;
• матрица системы A;
• правая часть системы b;
• точность ε (для итерационных методов);
• метод.
Выходные данные:
• решение системы;
• невязка;

2.2 Вычисление определителей матриц
Написать программу вычисления определителя матрицы одним из следующих методов:
а) методом Гаусса;
б) методом декомпозиции.
Входные данные:
• порядок системы n;
• матрица системы A;
• метод.
Выходные данные:
• значение определителя.

2.3 Вычисление обратной матрицы
Написать программу вычисления обратной матрицы одним из следующих методов:
а) методом Гаусса;
б) методом ортогонализации;
в) методом Халецкого.

Входные данные:
• порядок системы n ;
• матрица системы A;
• метод.
Выходные данные:
• обратная матрица;
• произведение прямой и обратной матрицы.

3. Приближение функций
1) Написать программу интерполяции таблично заданной функции с помощью полиномов Ньютона или Лагранжа.
Входные данные:
• исходная сетка узлов интерполяции;
• значения интерполируемой функции;
• новая сетка узлов, на которой необходимо вычислить значения функции;
• порядок полинома;
• метод.
Выходные данные:
• новая сетка;
• значения функции на новой сетке;
• погрешность интерполирования.

4. Численное дифференцирование
Написать программу вычисления первой и второй производной табличной функции с помощью полинома Ньютона или Лагранжа.
Входные данные:
• исходная сетка узлов функции;
• значения дифференцируемой функции;
• новая сетка узлов, на которой необходимо вычислить значения производных функции;
• тип полинома;
• порядок полинома.
Выходные данные:
• новая сетка;
• значения производных функции на новой сетке;
• порядок полинома;
• погрешность дифференцирования (для полинома Ньютона).

5. Численное интегрирование
1) Написать программу вычисления интеграла по одной из квадратурных формул: трапеции, Симпсона или прямоугольни-
ков с автоматическим выбором шага интегрирования (см. формулу (5.19)).
Входные данные:
• начальное количество узлов n0;
• сетка узлов (или шаг сетки и границы интервала);
• значения функции либо аналитическая функция;
• метод интегрирования;
• относительная точность.
Выходные данные:
• значение интеграла;
• количество узлов.
2) Написать программу вычисления интеграла по формуле Гаусса с автоматическим выбором шага интегрирования (см.
формулу (5.19)).
Входные данные:
• порядок формулы;
• границы интервала;
• подынтегральная функция;
• относительная точность.
Выходные данные:
• значение интеграла;
• количество узлов.